Теория невероятности: как выиграть автомобиль

Представьте, что вы участвуете в телешоу, и перед вами три двери. За одной из них новенький автомобиль, за двумя другими — ничего, ну, или по козе. Ведущий, который в курсе, где приз, предлагает вам сначала выбрать (но не открывать) любую дверь, затем, открывает одну из двух оставшихся, за которой точно пустота, и предлагает изменить ваш первоначальный выбор. Как поступите? По мнению большинства людей, в том числе математиков, ответ противоречит интуиции, но теория вероятностей работает безотказно. Сейчас объясним почему.

Это телешоу вовсе не вымышленное, а вполне реальное, под названием Let's Make a Deal. В разных форматах оно крутилось более чем в двух десятках стран с 1963 года. Казалось бы, что может быть проще: три двери, одна машина (да какая — Cadillac!), пара коз, добряк ведущий, который открывает «пустую» дверь, увеличивая тем самым шансы на победу... Но будь оно все так просто, шоу не имело бы успех на протяжении 30 лет. И не назвали бы потом решение этой задачи парадоксом Монти Холла, в честь бессменного ведущего этого шоу. Это чертовски простая задача, не требующая каких-либо сложных методов и вычислений, но минимальное знание математики наличие логики будут очень кстати.


Вы выбрали дверь номер 1. Круто, ваши шансы на выигрыш равны 1/3.
Но у нас для вас плохие новости - вероятность того, что машина осталась за одной из двух других дверей - 2/3


Итак, три двери. Одна ведет к призу, две другие — к разочарованию. Следовательно, вероятность того, что за любой из дверей находится автомобиль, равна ⅓. Это первая часть. Если бы задача Монти Холла заканчивалась только одним действием, выбором первой двери, это было бы очень скучно. По крайне мере ее вряд ли опубликовали бы в 1975 году в научном журнале The American Statistician. Большинство участников рассуждали интуитивно: после того, как ведущий открывал дверь, за которой нет приза, начиналась вторая часть игры. Большинство думало, что шансы на победу составляли уже ½, то есть 50%, так как самих не открытых дверей оставалось две, и менять в таком случае выбор вроде как бессмысленно. А вот и нет!


Давайте еще раз. Ваша дверь под номером один и шансы - 1/3. Тут понятно. Вероятность встретить за двумя другими "Кадиллак" - 2/3. Это тоже ясно. Одна из не призовых и не выбранных вами дверей открывается, там коза. Теперь возвращаемся к закрытым дверям: за вашей под номером 1 машина с вероятностью 1/3, шанс встретить ее за другой не открытой - 2/3. Вы все еще настаиваете на своем? Эх, не видать вам "Кедди"...


Хотя возможностей выбора действительно остается две, эти возможности (с учетом первой части) не являются равновероятными. Изначально все двери имели равные шансы быть выигрышными, но затем имели разные вероятности быть исключенными. Увы, но для большинства людей этот вывод противоречит интуитивному восприятию ситуации, и благодаря возникающему несоответствию между логическим выводом и ответом, к которому склоняет интуитивное мнение, задача и называется парадоксом.

Чтобы уехать из студии на новеньком «Кадиллаке» без изменения выбора, нужно было сразу угадать призовую дверь. Шансы такого исхода — ⅓, а вероятность уйти пешком — ⅔. Стало быть, настаивая на своем первоначальном выборе во второй части игры вероятность выигрыша остается на уровне ⅓, а при смене двери шансы вырастают вдвое!


Наглядное распределение вероятностей. Из тех, кто менял дверь (нижний левый угол), двое получили машину и один - козу.
Из тех, кто не менял (нижний правый угол) - все в точности до наоборот

Не верите? Вот еще одно объяснение. Давайте предположим, что дверей не три, а десяток. Или сотня. Да что уж мелочиться, пусть будет тысяча. Вы выбираете одну, затем ведущий открывает 998 за которыми точно нет автомобиля. Остаются опять две двери: которую выбрали вы, и которую оставил ведущий. Вероятность в первом действии попасть в призовую дверь — 1/1000, и она сохраняется, если вы упрямо не желаете менять свой выбор. То есть, шансы остаться с носом в таком случае составляют 999 из 1000. При таком раскладе становится более очевидным, что вероятности нахождения приза за оставшимися двумя дверьми различны, и не равны ½. Давайте еще раз: если не меняем выбор, то шансы равны 1/1000, если меняем — ⅔. Все просто.

На фото: Монти Холл - ведущий, продюсер и филантроп,
раздававший долгое время "Кадиллаки". И коз
Источник

Цитата:

На фото: Монти Холл - ведущий, продюсер и филантроп, раздававший долгое время "Кадиллаки".

"Швейк несколько лет тому назад, после того как медицинская комиссия признала его идиотом, ушел с военной службы и теперь промышлял продажей собак, безобразных ублюдковв, которым он сочинял фальшивые родословные.."

Василий Иванович и Петька договорились, что если Петька угадает, в какой руке у
Василия Ивановича бутылка, - они ее разопьют, а если нет - разобьют.
Петька:
- В левой?
- Думай, Петька, думай..!

Всё это прекрасно в теории. Куда интереснее увидеть статистику реальных результатов.

Из бесконечного числа испытаний, вероятность всегда будет стремиться к 1\3, менять дверь не имеет смысла.

Глупое объяснение этой теории невероятности, наверное всё же для глупых американцев.
Если бы было тысяча дверей и ведущий не знал за какой именно дверью автомобиль, то вероятность того, что за выбранной первоначальной еще не открытой дверью находится автомобиль, равна 99%.
Если ведущий не знает за какой дверью и выбирает любую, чтоб открыть, а там нет и нет автомобиля, значит скорей всего он будет за первоначально выбранной, еще закрытой.
А если знает за какой дверью, то шансы в самом конце остаются такие же как были в самом начале, когда все двери были закрыты.

Да да, все верно. В фильме Двадцать одно Очень хорошо это описано)

Тут нет никакой теории, тем более - вероятности, тут есть ловкость рук и "никакого мошенства", она же - психология.
Ведущий изначально знает - за какой дверью кадиллак (дрянь, кстати, ещё та) и выиграете вы его только в двух случаях.
Первое - если изначально правильно угадаете дверь (при условии, что его из-за той двери не уберут, пока вас будут словесами разводить на сцене)
Второе - вы "правильный чувак" (с точки зрения шоу), который и должен этот кадиллак выиграть.
Всё, других вариантов чего-то выиграть тут нет.
Все остальные подсчёты - в пользу бедных. Потому что строятся на предположениях о честности шоу, честности ведущего, наличии кадиллаковой фабрики у которой этих кадиллаков ... и реакции на вашу морду лица зрителей шоу. Вот эти вероятности можете посчитать, кому делать нечего.

Алекс Шушен писал(а):

А если знает за какой дверью, то шансы в самом конце остаются такие же как были в самом начале, когда все двери были закрыты.

Ты хочешь сказать, что если изначально выбор был бы из 1000 дверей, а потом 998 пустых убрали, то в результате вероятность осталась бы изначальной в 1/1000? Т.е. независимо от того, какую из двух оставшихся дверей я открою или даже сразу обе, то я всё равно проиграю?)))

...А на фиг он нужен то? При Союзе и средства были, и возможности, и даже права на управление были. Но... даже и не пытался его купить. А насчёт поездок. Отвезут куда надо, только скажи. Тем более сейчас...

В данной игре вероятность при смене выбора не увеличивается и не уменьшается она сразу составляет 50%. Поскольку игроку только кажется что он выбирает из трёх дверей, на самом деле он выбирает одну дверь за которой как ему кажется есть приз и надеется что за двумя другими дверьми пусто, тем более что одну из не выбранных дверей всё равно откроют и за ней будет пусто. Так что фактический выбор всё равно 50 на 50%.

Это старый прикол. По теории надо менять выбор двери. Шанс увеличится.

Добавлено спустя 4 минуты 13 секунд:

ivanivanovicpupcin писал(а):

не увеличивается и не уменьшается она сразу составляет 50%.

Блондинку спросили, каков шанс встретить на улице динозавра. Она сказала 50/50. Или встречу, или не встречу. (Я так в покер играю, или придет, или не придет). Вам ведь вверху объяснили и показали, что при смене двери шанс угадать не 50/50 а выше, математика, сэр.

Мы так с друзьями в пабе развлекались, взяли ручки бумажки проверяли теорию, и да в большинстве случаев была победа.

AdlSh писал(а):

Алекс Шушен писал(а): А если знает за какой дверью, то шансы в самом конце остаются такие же как были в самом начале, когда все двери были закрыты. Ты хочешь сказать, что если изначально выбор был бы из 1000 дверей, а потом 998 пустых убрали, то в результате вероятность осталась бы изначальной в 1/1000? Т.е. независимо от того, какую из двух оставшихся дверей я открою или даже сразу обе, то я всё равно проиграю?)))

Наверное он просто забыл упомянуть факт того что двери потом перемешивают) Или просто не показывают тебе какую из трех дверей открыли. Только сам факт открытия двери

AdlSh писал(а):

Алекс Шушен писал(а): А если знает за какой дверью, то шансы в самом конце остаются такие же как были в самом начале, когда все двери были закрыты. Ты хочешь сказать, что если изначально выбор был бы из 1000 дверей, а потом 998 пустых убрали, то в результате вероятность осталась бы изначальной в 1/1000? Т.е. независимо от того, какую из двух оставшихся дверей я открою или даже сразу обе, то я всё равно проиграю?)))

Ну вот тут соглашусь, из 998, выбор конечно бы сменил.
А из 3 дверей, убрать одну, шансы или вероятность будет все же 50% и в данном случае прям менять выбор смысла нет.
И на картинках, разных ослов забирали, поэтому это не верное обоснование как по мне.

Добавлено спустя 7 минут 43 секунды:

Jack Hunt писал(а):

Это старый прикол. По теории надо менять выбор двери. Шанс увеличится. Добавлено спустя 4 минуты 13 секунд: ivanivanovicpupcin писал(а): не увеличивается и не уменьшается она сразу составляет 50%. Блондинку спросили, каков шанс встретить на улице динозавра. Она сказала 50/50. Или встречу, или не встречу. (Я так в покер играю, или придет, или не придет). Вам ведь вверху объяснили и показали, что при смене двери шанс угадать не 50/50 а выше, математика, сэр.

Ну для начала шансы и вероятности есть очень различные и одна верояность 50% это может быть совсем не равна половине другой.

Тут в защиту блондинок)