Теория невероятности: как выиграть автомобиль

Представьте, что вы участвуете в телешоу, и перед вами три двери. За одной из них новенький автомобиль, за двумя другими — ничего, ну, или по козе. Ведущий, который в курсе, где приз, предлагает вам сначала выбрать (но не открывать) любую дверь, затем, открывает одну из двух оставшихся, за которой точно пустота, и предлагает изменить ваш первоначальный выбор. Как поступите? По мнению большинства людей, в том числе математиков, ответ противоречит интуиции, но теория вероятностей работает безотказно. Сейчас объясним почему.

Это телешоу вовсе не вымышленное, а вполне реальное, под названием Let's Make a Deal. В разных форматах оно крутилось более чем в двух десятках стран с 1963 года. Казалось бы, что может быть проще: три двери, одна машина (да какая — Cadillac!), пара коз, добряк ведущий, который открывает «пустую» дверь, увеличивая тем самым шансы на победу... Но будь оно все так просто, шоу не имело бы успех на протяжении 30 лет. И не назвали бы потом решение этой задачи парадоксом Монти Холла, в честь бессменного ведущего этого шоу. Это чертовски простая задача, не требующая каких-либо сложных методов и вычислений, но минимальное знание математики наличие логики будут очень кстати.


Вы выбрали дверь номер 1. Круто, ваши шансы на выигрыш равны 1/3.
Но у нас для вас плохие новости - вероятность того, что машина осталась за одной из двух других дверей - 2/3


Итак, три двери. Одна ведет к призу, две другие — к разочарованию. Следовательно, вероятность того, что за любой из дверей находится автомобиль, равна ⅓. Это первая часть. Если бы задача Монти Холла заканчивалась только одним действием, выбором первой двери, это было бы очень скучно. По крайне мере ее вряд ли опубликовали бы в 1975 году в научном журнале The American Statistician. Большинство участников рассуждали интуитивно: после того, как ведущий открывал дверь, за которой нет приза, начиналась вторая часть игры. Большинство думало, что шансы на победу составляли уже ½, то есть 50%, так как самих не открытых дверей оставалось две, и менять в таком случае выбор вроде как бессмысленно. А вот и нет!


Давайте еще раз. Ваша дверь под номером один и шансы - 1/3. Тут понятно. Вероятность встретить за двумя другими "Кадиллак" - 2/3. Это тоже ясно. Одна из не призовых и не выбранных вами дверей открывается, там коза. Теперь возвращаемся к закрытым дверям: за вашей под номером 1 машина с вероятностью 1/3, шанс встретить ее за другой не открытой - 2/3. Вы все еще настаиваете на своем? Эх, не видать вам "Кедди"...


Хотя возможностей выбора действительно остается две, эти возможности (с учетом первой части) не являются равновероятными. Изначально все двери имели равные шансы быть выигрышными, но затем имели разные вероятности быть исключенными. Увы, но для большинства людей этот вывод противоречит интуитивному восприятию ситуации, и благодаря возникающему несоответствию между логическим выводом и ответом, к которому склоняет интуитивное мнение, задача и называется парадоксом.

Чтобы уехать из студии на новеньком «Кадиллаке» без изменения выбора, нужно было сразу угадать призовую дверь. Шансы такого исхода — ⅓, а вероятность уйти пешком — ⅔. Стало быть, настаивая на своем первоначальном выборе во второй части игры вероятность выигрыша остается на уровне ⅓, а при смене двери шансы вырастают вдвое!


Наглядное распределение вероятностей. Из тех, кто менял дверь (нижний левый угол), двое получили машину и один - козу.
Из тех, кто не менял (нижний правый угол) - все в точности до наоборот

Не верите? Вот еще одно объяснение. Давайте предположим, что дверей не три, а десяток. Или сотня. Да что уж мелочиться, пусть будет тысяча. Вы выбираете одну, затем ведущий открывает 998 за которыми точно нет автомобиля. Остаются опять две двери: которую выбрали вы, и которую оставил ведущий. Вероятность в первом действии попасть в призовую дверь — 1/1000, и она сохраняется, если вы упрямо не желаете менять свой выбор. То есть, шансы остаться с носом в таком случае составляют 999 из 1000. При таком раскладе становится более очевидным, что вероятности нахождения приза за оставшимися двумя дверьми различны, и не равны ½. Давайте еще раз: если не меняем выбор, то шансы равны 1/1000, если меняем — ⅔. Все просто.

На фото: Монти Холл - ведущий, продюсер и филантроп,
раздававший долгое время "Кадиллаки". И коз
Источник

Jack Hunt писал(а):

Это старый прикол. По теории надо менять выбор двери. Шанс увеличится. Добавлено спустя 4 минуты 13 секунд: ivanivanovicpupcin писал(а): не увеличивается и не уменьшается она сразу составляет 50%. Блондинку спросили, каков шанс встретить на улице динозавра. Она сказала 50/50. Или встречу, или не встречу. (Я так в покер играю, или придет, или не придет). Вам ведь вверху объяснили и показали, что при смене двери шанс угадать не 50/50 а выше, математика, сэр.

Именно что математика сер. Игрок изначально выбирает из 3 дверей но одна дверь всё равно будет открыта и она будет пустой.
И игрок то об этом знает. И в конце он всё равно перед выбором из 2 дверей. Той которая ему понравилась и он её выбрал и той которую он считал пустышкой, и с чего вдруг его выбор изменится, а если и изменится то шансы не увеличатся, дверей то всего две и шансы 50 на 50.

Выбрать дверь и не менять - вероятность выигрыша 1 / 3
Выбрать дверь и поменять - это всё равно, что заранее выбрать две других двери. Ведь вы и так знаете, что по крайней мере за одной из них коза, и её демонстрация никак не влияет на вероятность выигрыша. И она остаётся такой же, как вначале: 2 / 3

UpNowInvest писал(а):

А из 3 дверей, убрать одну, шансы или вероятность будет все же 50% и в данном случае прям менять выбор смысла нет. И на картинках, разных ослов забирали, поэтому это не верное обоснование как по мне.

Ну, у меня тоже версия, что работает это немного не так, как описано. И тоже считаю, что конкретно для варианта с 3 дверьми вероятность всё таки 1/2. Вот, если их больше, то да. Для 4 дверей при смене выбора вероятность выигрыша будет 2/3, для 5 - 3/4, для 6 - 4/5, для 1000 - 998/999 и т.д.

AdlSh писал(а):

Куда интереснее увидеть статистику реальных результатов

MythBusters S09E21

Можно немного видоизменить задачу и взглянуть на неё под другим углом.
Пусть ведущий сначала открывает дверь, а потом даёт участнику первоначальный выбор.
Как в таком случае участнику распределить эти 2/3 против 1/3, если по факту для него стоит выбор всего из 2 дверей?
Фактически, мало что изменилось - те же 3 двери в начале, те же 2 двери в конце. Те же 1/3 на каждую дверь, но изменив последовательность действий мы приходим к тому, что шанс угадать для участника становится равным 1/2.

Какая теория веросятнсти может работать в игре "в наперстки"?

Этот телелохотрон устраивают ради рекламы и шоу! Как только зрительский интерес падает - какой ни будь участник вдруг выигрывает автомобиль!

Это при таком подходе-выйти и встретить на улице динозавра 50%. Или он есть, или его нету.

очччень старая инфа

Для тех, кто с трудом воспринимает логические рассуждения, написал простую программу на Python, экспериментируйте:

Код: выделить все from random import choice total_attempts = 100000 win_if_keep = win_if_change = 0 for _ in range(total_attempts):     car = choice('123')     you = choice('123')     win_if_keep += car == you     win_if_change += car != you print('Chances if keep:', win_if_keep / total_attempts) print('Chances if change:', win_if_change / total_attempts)

Итог: если не менять, вероятность 1/3, если менять, то 2/3

AdlSh писал(а):

Ты хочешь сказать, что если изначально выбор был бы из 1000 дверей, а потом 998 пустых убрали, то в результате вероятность осталась бы изначальной в 1/1000? Т.е. независимо от того, какую из двух оставшихся дверей я открою или даже сразу обе, то я всё равно проиграю?)))

Не, я такого не говорил, я сказал:

Алекс Шушен писал(а):

Если ведущий не знает за какой дверью и выбирает любую, чтоб открыть, а там нет и нет автомобиля, значит скорей всего он будет за первоначально выбранной, еще закрытой. А если знает за какой дверью, то шансы в самом конце остаются такие же как были в самом начале, когда все двери были закрыты.

Еще раз расшифровать?))
Если ведущий знает за какой дверью, то он оставит две двери не открывшимися специально, где за одной автомобиль. Поэтому шансы выиграть останутся такими же как и при всех тысячи закрытых.
А вот если не знает. Открывал любую наугад, а там всё не было и не было автомобиля. То скорей всего он за той дверью которую выбрал в самом начале угадывающий.

Добавлено спустя 21 минуту 7 секунд:

Ну в принципе, я заблуждался. Еще раз подумал, да, всё правильно в статье говорится, что шансы выиграть увеличиваются, если дверь поменять.

Вот так и лысеют, колеблясь между вариантами

tombang писал(а):

Для тех, кто с трудом воспринимает логические рассуждения, написал простую программу на Python, экспериментируйте:

Можно оптимизировать. Так как нумерацию дверей можно начинать с любой, можно положить, что машина всегда за первой. Тогда не нужна переменная car.

Зачем здесь нужна программа на Питоне, когда всё объяснено в статье?
Первоначально вероятность была 1/3. Тут никто не спорит.
Следующий шаг - открытие одной двери и исключение её из общего множества возможных выборов. Тут нужно притормозить и немного помыслить логически.
Почему открытие одной двери должно влиять на вероятность первоначального выбора, который случился раньше? Что изменилось с точки зрения вероятности? Ничего не изменилось. Вероятность угадать как была 1/3 так и осталась. Выбор ведь вёлся из 3х дверей тогда, а не 2х как сейчас.
Теперь уж совсем просто. То что машина находится за одной или второй дверями - равна 1, т.е. она гарантированно за одной из дверей.
Поэтому вероятнось нахождения авто за второй дверью равна (1-1/3) = 2/3, ч.т.д.

Ну и чушь, у меня есть парадокс по круче:
В одном магазине яблоко 5 рублей, а в другом 10 рублей, но со скидкой 50%. В первом случае вы купите яблоко за 100% от цены, во втором за 50%, хотя оба выйдут по 5 рублей. Вообще, взрыв мозга!

Причесали разные данные к одному знаменателю и получили искажения вероятностей

Намного проще и надежнее заработать на тех, кто искренне верит в то, что может "выиграть автомобиль"... Давно же ж известно, что для того, чтобы снять джек-пот в казино, надо его сначала открыть...