10 сложнейших математических задач, остающихся нерешенными

На протяжении веков лучшие умы человечества решали одну математическую задачу за другой, однако есть несколько, не поддавшихся до сих пор никому. За нахождение алгоритма их решения некоторые фонды и компании готовы заплатить большие деньги.

Гипотеза Коллатца

Другие названия: гипотеза 3n+1, сиракузская проблема, числа-градины. Если взять любое натуральное число n и совершить с ним следующие преобразования, рано или поздно всегда получится единица. Четное n нужно разделить надвое, а нечетное — умножить на 3 и прибавить единицу. Для числа 3 последовательность будет такой: 3×3+1=10, 10:2=5, 5×3+1=16, 16:2=8, 8:2=4, 4:2=2, 2:2=1. Очевидно, что если продолжить преобразование с единицы, то начнется цикл 1,4,2. Достаточно быстро количество шагов в вычислениях начинает превышать сто и на решение каждой новой последовательности требуется все больше ресурсов.

Небольшой прогресс в решении этой задачи почти вековой давности наметился буквально в прошлом месяце. Однако знаменитый американской математик Терренс Тао лишь ближе всех подошел к нему, но ответа все равно пока не нашел. Гипотеза Коллатца является фундаментом такой математической дисциплины, как «Динамические системы», которая, в свою очередь, важна для множества других прикладных наук, например, химии и биологии. Сиракузская проблема выглядит, как простой безобидный вопрос, но именно это делает ее особенной. Почему ее так сложно решить?

Проблема Гольдбаха (бинарная)

Еще одна задачка, формулировка которой выглядит проще пареной репы — любое четное число (больше 2) можно представить в виде суммы двух простых. И это краеугольный камень современной математики. Данное утверждение легко проверяется в уме для небольших значений: 18=13+5, 42=23+19. Причем рассматривая последнее, можно достаточно быстро понять всю глубину проблемы, ведь 42 представляется и как 37+5 и 11+31, а еще как 13+29 и 19+23. Для чисел больше тысячи количество пар слагаемых становится просто огромным. Это очень важно в криптографии, но даже самые мощные суперкомпьютеры не могут перебирать все значения до бесконечности, поэтому нужно какое-то четкое доказательство для всех натуральных чисел.

Проблема была сформулирована Кристианом Гольдбахом в его переписке с другим величайшим светилом математики Леонардом Эйлером в 1742 году. Сам Кристиан ставил вопрос несколько проще: «каждое нечетное число, больше 5, можно представить в виде суммы трех простых чисел». В 2013 году перуанский математик Харальд Хельфготт нашел окончательное решение этого варианта. Однако предложенное Эйлером следствие этого утверждения, которое и назвали «бинарной проблемой Гольдбаха», до сих пор не поддается никому.

Гипотеза о числах-близнецах

Близнецами называются такие простые числа, которые отличаются всего на 2. Например, 11 и 13, а также 5 и 3 или 599 и 601. Если бесконечность ряда простых чисел была доказана множество раз начиная с античности, то бесконечность чисел-близнецов находится под вопросом. Начиная с 2, среди простых чисел нет четных, а начиная с 3 — делящихся на три. Соответственно, если вычесть из ряда все, подходящие под "правила деления", то количество возможных близнецов становится все меньше. Единственный модуль для формулы нахождения таких чисел — 6, а формула выглядит следующим образом: 6n±1.

Как и всегда в математике, если проблема не решается «в лоб», к ней подходят с другого конца. Например, в 2013 году было доказано, что количество простых чисел, отличающихся на 70 миллионов, бесконечно. Тогда же, с разницей менее чем в месяц, значение разницы было улучшено до 59 470 640, а затем и вовсе на порядок — до 4 982 086. На данный момент существуют теоретические обоснования бесконечности пар простых чисел с разницей в 12 и 6, однако доказанной является лишь разность в 246. Как и прочие проблемы такого рода, гипотеза о числах-близнецах особенно важна для криптографии.

Гипотеза Римана

Если кратко, то Бернхард Риман предположил, что распределение простых чисел по множеству всех натуральных чисел не подчиняется каким-либо законам. Но их количество на заданном участке числового ряда коррелирует с распределением определенных значений на графике дзета-функции. Она расположена выше и для каждого s дает бесконечное количество слагаемых. Например, когда в качестве s подставляется 2, то в результате получается уже решенная “базельская задача” — ряд обратных квадратов (1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + …).

Одна из «проблем тысячелетия», за решение которой назначен приз в миллион долларов, а также вхождение в пантеон «богов» современной математики. На деле, доказательство этой гипотезы настолько сильно толкнет вперед теорию чисел, что это событие по праву будет называться историческим. Многие вычисления и утверждения в математике строятся на предположении о том, что «гипотеза Римана» верна, и до сих пор никого не подводили. Немецкий математик сформулировал знаменитую задачу 160 лет назад, и с тех пор к ее решению подступались неисчислимое количество раз, однако прогресс очень скромен.

Гипотеза Берча и Суиннертон-Дайера

Еще одна “задача тысячелетия”, за решение которой Институт Клэя одарит миллионом долларов. Не-математику достаточно трудно хотя бы в общих чертах сформулировать и понять, в чем же суть гипотезы. Берч и Свиннертон-Дайер предположили определенные свойства эллиптических кривых. Идея заключалась в том, что ранг кривой можно определить зная порядок нуля дзета-функции. Как говорится, ничего не понятно, но очень интересно.

Эллиптическими кривыми называются такие линии на графике, которые описываются, на первый взгляд, безобидными уравнениями вида y²=x³+ax+b. Некоторые их свойства чрезвычайно важны для алгебры и теории чисел, а решение данной задачи может серьезно продвинуть науку вперед. Наибольший прогресс был достигнут в 1977 году коллективом математиков из Англии и США, которые смогли найти доказательство гипотезы Берча и Суиннертон-Дайера для одного из частных случаев.

Проблема плотной упаковки равных сфер

Это даже не одна, а целая категория схожих проблем. Причем мы сталкиваемся с ними ежедневно, например, когда хотим разложить фрукты на полке в холодильнике или как можно плотнее расставить бутылки на полке. С математической точки зрения необходимо найти среднее количество контактов ("поцелуев", также называется контактным числом) каждой сферы с остальными. На данный момент есть точные решения для размерностей 1-4 и 8.

Под размерностью или измерением понимается количество линий, вдоль которых размещаются шары. В реальной жизни больше третьей размерности не встречается, однако математика оперирует и гипотетическими значениями. Решение этой задачи может серьезно продвинуть не только теорию чисел и геометрию вперед, но также поможет в химии, информатике и физике.

Проблема развязывания

И снова каждый день встречающаяся проблема. Казалось бы, что сложного — узел развязать? Тем не менее, вычисление минимального времени, необходимого для этой задачи является еще одним краеугольным камнем математики. Трудность в том, что мы знаем, вычислить алгоритм развязывания можно, но его сложность может быть такой, что даже самый мощный суперкомпьютер будет считать слишком долго.

Первые шаги на пути решения этой задачи были сделаны в 2011 году американским математиком Грегом Купербергом. В его работе развязывание узла из 139 вершин было сокращено со 108 часов до 10 минут. Результат впечатляющий, но это лишь частный случай. На данный момент существует несколько десятков алгоритмов разной степени эффективности, однако ни один из них не является универсальным. Среди применений этой области математики — биология, в частности, процессы сворачивания белков.

Самый большой кардинал

Какая бесконечность самая большая? На первый взгляд бредовый вопрос, но так и есть — все бесконечности разные по размеру. А точнее, по мощности, ведь именно так различают множества чисел в математике. Под мощностью понимается общее количество элементов множества. Например, самая маленькая бесконечность — натуральные числа (1, 2, 3, ...), потому что она включает в себя только целые положительные числа. Ответа на этот вопрос пока нет и математики постоянно находят все более мощные множества.

Мощность множества характеризуется его кардинальным числом или просто кардиналом. Существует целая онлайн-энциклопедия бесконечностей и примечательных «конечностей», названная в честь Георга Кантора. Этот немецкий математик первым обнаружил, что неисчислимые множества могут быть больше или меньше друг друга. Более того, он смог доказать разницу в мощностях различных бесконечностей.

Что не так с суммой числа π и e?

Является ли сумма этих двух иррациональных чисел алгебраическим числом? Мы оперируем этими константами сотни лет, но так и не узнали о них все. Алгебраическое число — корень многочлена с целыми коэффициентами. На первый взгляд кажется, что все вещественные числа алгебраичны, но нет, наоборот. Большинство чисел трансцендентны, то есть не являются алгебраическими. Более того, все вещественные трансцедентные числа иррациональны (например, π и e), но вот их сумма может быть любой.

Если от предыдущего абзаца у читателя не заболела голова, то вот продолжение загадки — а что с πe, π/e и π-e? Также неизвестно, а знать это наверняка довольно важно для теории чисел. Трансцедентность числа доказал в конце XIX века Фердинанд фон Линдеман вместе с невозможностью решения задачи квадратуры круга. С тех пор значимых подвижек в решении вопроса не было.

Является ли γ рациональной?

Вот еще одна проблема, которую очень легко написать, но трудно решить. Является ли постоянная Эйлера-Маскерони иррациональной или нет? Рациональные числа можно записать в виде p/q, где p и q — целые числа. Таким образом, 42 и -11/3 являются рациональными, а и √2 - нет. Формула выше позволяет вычислить постоянную, которая является пределом разности между частичной суммой гармонического ряда и натуральным логарифмом числа. За определение ее рациональности миллион долларов, конечно, не светит, зато вполне можно рассчитывать на кресло профессора в Оксфорде.

Значение γ было вычислено до нескольких тысяч знаков после запятой, первые четыре из которых — 0,5772. Она достаточно широко используется в математике, в том числе вместе с другим числом Эйлера — e. Согласно теории цепных дробей, если постоянная Эйлера-Маскерони является рациональной дробью, то ее знаменатель должен быть больше 10 в 242 080 степени.popmech

математика как она есть, в отрыве от реальности ) пустые цифры ради пустых цифр

Не думал наверное первобытный человек пересчитывая свои пальцы на руках, что это его практическое умение породит столько теоретиков тунеядцев. :смех:

После работы такое прочитать и попытаться ещё понять :мегашок:

ну это прям издевательство какое-то. Михаил как Вам не стыдно.

AntonioSarent писал(а):

как Вам не стыдно.

Знаете, когда-то я слышал такое выражение: "Победа Науки над Разумом".
Видимо - эта "новость" - тот самый случай ))

Доооо, задача. Очень важно это все решить. Очень-очень.

Добавлено спустя 4 минуты 29 секунд:

ivanivanovicpupcin писал(а):

Не думал наверное первобытный человек пересчитывая свои пальцы на руках, что это его практическое умение породит столько теоретиков тунеядцев. :смех:

Потеря связи с реальностью и погружение в идеализм. Математика - это раздел физики, а физика - раздел естествознания, а естествознание - познание реальности. Когда же математика отрывается от реальности, то становится просто фантазией. Можно сколько угодно фантазировать на счет отрицательных чисел, абсолютно забыв, что их в реальности не существует и они были придуманы исключительно для удобства счета, а не как самостоятельные величины. Но зато как удобно: можно получать хорошие з.п. занимаясь всякой ерундой, зато с очень умным видом. Но умное лицое - еще не признак ума (с) фильм.

КарКарыч писал(а):

Математика - это раздел физики

математика - это математика - формально-логический инструмент
базирующийся на интуитивно очевидно-понятных аксиомах
самодостаточный
и всё.

Цель математики - поставить, сформулировать задачу и найти пути её решения.
Даже абстрактную, не связанную ни с какой практикой.

который, в частности, применяется и в физике

P.S. есть Математическая физика - это раздел математики - это совсем другое

Каждая задача состоит: из условия и вопроса, что должны найти.
А в данном изложении описаны какие-то действия но совершенно отсутствует сам вопрос, что в каждом конкретном случае хотят найти или узнать. Поэтому, к сожалению, суть задач осталась совершенно непонятной!

А при таком подходе, это совершенно не решаемо, как древняя задача с Ахилесом и черепахой.
Черепаха находится на 100м впереди Ахилеса и движется в 10 раз медленней. Стартуют они одновременно.
Пока Ахилес пробежит 100м, черепаха успеет проползти на 10м. Пока Ахилес преодолеет 10м, черепаха продвинется на 1м. Таким образом доказано что расстояние между Ахилесом и черепахой будет всё время сокращаться но Ахилес никогда не сможет обогнать черепаху.
Задача нерешаема из-за неправильно прописанного условия и неправильно поставленного вопроса.
(Хотя каждый понимает, что Ахилес быстро обгонит черепаху. Но при данной постановке этого не решить.)

Вот и там они сами себе напридумывали "хитромудро" сделанные условия и непонятную постановку вопроса, а затем с "героизмом" пытаются их решить.

Продюсер писал(а):

Гипотеза Коллатца не имеющий логики бред, а не задача. Если любое не четное число всё время умножать на 3, то и будешь всегда иметь не четное, а добавив к любому не четному 1 получишь четное, а по законам математики деля любое четное всё время на 2 в итоге придешь к 1. Всё, задача для лентяев делающих вид какой то там важной деятельности, что бы забить баки спонсорам. Да собственно и все остальные задачи такого типа.

Тут мне видится задача в том, что бы доказать, что при выполнении этой задачи не может произойти зацикливания (т.е. при вычислении получится число, которое уже было в цепочке) и это будет решаться бесконечно гоняя по кругу одни и те же числа.
К примеру, для числа 27 потребуется 111 шагов, что бы дойти до финала, при этом максимально полученное число будет 9232. А для каких то больших чисел цепочка может быть длиной стремящейся к бесконечности. Опытным путем теорию провери до числа 9 789 690 303 392 599 179 035, но числа ведь могут быть и гораздо больше, в 100, 1000, 10000 знаков и так далее, до бесконечности.

А я прочитал, но не понял, а в чем там везде проблема? Ну да, близнецы, ну да еще там что-то где-то уменьшается или делится или не делится, а проблема-то где?

Через пару-тройку десятков лет для искусственного интеллекта, заточенного под решение математических задач, нерешённых не останется. Надо лишь дождаться.

Продюсер писал(а):

... а по законам математики деля любое четное всё время на 2 в итоге придешь к 1.

Возьмите любое четное число, равное к примеру 6, и делите его на 2 до опупения в надежде прийти к 1.

Добавлено спустя 20 минут 48 секунд:

sir.Adler писал(а):

Тут мне видится задача в том, что бы доказать, что при выполнении этой задачи не может произойти зацикливания (т.е. при вычислении получится число, которое уже было в цепочке) и это будет решаться бесконечно гоняя по кругу одни и те же числа.

Зацикливание не грозит: числа в результате операций все время возрастают, потому что все время идет трехкратное увеличение, деление же мы можем перебросить на результат.
Грубо говоря мы имеем степенной ряд тройки с начальным числом как коэффициент при старшей степени, и этот ряд должен быть равен степени двойки.

Сие не подвластно моему интеллекту..

Как выиграть в шахматы ?

lilavatara писал(а):

Как выиграть в шахматы ?

Заведите кошку и играйте в шахматы с ней.

чем только не озадачатся люди, которым не хватает мозгов в первую очередь задуматься о смысле их земной жизни.
все эти математики из 18-х и прочих веков машут вам из могилы ручкой и ждут к себе)