М.Б.Гельфанд и др. | Математика (1982) [PDF]

Пособие написано в соответствии с новой программой и предназначено для старшеклассников средней школы и абитуриентов при подготовке к конкурсным экзаменам по математике в высшие учебные заведения. Оно построено в основном на материалах вступительных экзаменов вузов.
Краткие теоретические сведения, приводимые в начале глав, носят справочный характер. Они необходимы учащимся для повторения отдельных математических разделов и способствуют нахождению рациональных приемов решения задач.
Большое внимание уделено важным и сложным разделам школьного курса математики: производной, интегралу, координатному методу, векторному методу решения геометрических задач и т. п.
Такие традиционные вопросы, как уравнения, тождественные преобразования, широко представлены в 9-й главе.
В книге дается краткая информация об уровне требований к письменным и устным экзаменам по математике (главы 9, 10, 11).
Задачи, родственные по принципу решения, сгруппированы; для отдельных групп дается подробное решение.
В решении задач применяется символика математической логики, ставшая для учащихся привычной при оформлении письменных работ.
Авторы стремились разместить задачи в определенной последовательности, удобной для самостоятельной работы. Большое внимание при этом уделено принципиальным моментам, существенным для нахождения способа решения задач. Второстепенные логические звенья в решении задачи иногда опускаются (с целью повышения самостоятельности и активности учащихся).
Не следует рассматривать все приведенные решения задач как завершенные образцы, которым необходимо строго следовать при выполнении конкретных заданий. В некоторых задачах дается только основная идея решения, так называемый «костяк решения».
В пособии имеется достаточное количество задач для самостоятельного решения. К каждой из них даются ответ или указание.
Многие из приведенных задач и примеров предлагались на вступительных экзаменах в вузы страны.

Предисловие
ЧАСТЬ I. АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА
Глава 1. Решение неравенств
§ 1. Свойства неравенств
§ 2. Методы решения неравенств
§ 3. Неравенства первой степени
§ 4. Квадратные неравенства.
§ 5. Неравенства, содержащие абсолютную величину
§ 6. Дробно-рациональные неравенства
§ 7. Иррациональные неравенства
§ 8. Показательные неравенства
§ 9. Логарифмические неравенства
§ 10. Тригонометрические неравенства
§ 11. Разные неравенства
Глава 2. Доказательство неравенств
§ 1. Основные логические схемы доказательств неравенств
§ 2. Способы доказательств неравенств
§ 3. Задачи
Глава 3. Пределы
§ 1. Предел последовательности
§ 2. Предел функции
Глава 4. Производная. Применение производной
§ 1. Определение производной
§ 2. Основные правила дифференцирования
§ 3. Задачи на нахождение производной
§ 4. Возрастание и убывание функции
§ 5. Экстремумы функций
§ 6. Касательная к графику функции
§ 7. Выпуклость функции
§ 8. Построение графика функции
§ 9. Доказательство неравенств
§ 10. Текстовые задачи на экстремум
Глава 5. Интеграл и его применение
§ 1. Понятие первообразной и интеграла
§ 2. Применение интеграла
ЧАСТЬ II. ГЕОМЕТРИЯ
Глава 6. Координатно-векторный метод
§ 1. Векторы
§ 2. Скалярное произведение векторов
§ 3. Решение геометрических задач векторным методом
§ 4. Координатно-векторный метод на плоскости
§ 5. Координатно-векторный метод в пространстве
Глава 7. Планиметрия
§ 1. Основные сведения для справок
§ 2. Задачи на доказательство
§ 3. Задачи на вычисление
Глава 8. Стереометрия
§ 1. Теоретические сведения
§ 2. Угол прямой с плоскостью
§ 3. Угол между двумя плоскостями
§ 4. Призма
§ 5. Пирамида
§ 6. Тела вращения
§ 7. Задачи на сечения
§ 8. Комбинации геометрических тел
ЧАСТЬ III. ВСТУПИТЕЛЬНЫЕ ЭКЗАМЕНЫ В ВУЗЫ
Глава 9. Варианты письменных заданий с решениями на вступительных экзаменах
Глава 10. Варианты письменных заданий без решений (1978)
Глава 11. Билеты устных экзаменов
Список вузов
Список литературы