А.Д. Полянин | Лекции по нелинейным уравнениям математической физики (2023) [PDF]

Предисловие.....9

Некоторые обозначения и замечания.....11

1. Введение. Методы прикладной математики.....13
1.1. Точные методы.....13
1.1.1. Краткая информация.....13
1.1.2. Более подробная информация.....14
1.2. Асимптотические методы (методы возмущений).....18
1.2.1. Краткая информация.....18
1.2.2. Более подробная информация.....18
1.3. Численные методы.....22
1.3.1. Краткая информация.....22
1.3.2. Более подробная информация.....23
1.4. Приближенные аналитические методы.....25
1.4.1. Краткая информация.....25
1.4.2. Более подробная информация.....26
1.5. Комбинирование теоретических методов.....27
1.6. Точные решения и методы решения нелинейных уравнений математической физики.....28
Литература к главе 1.....29

2. Элементарная теория инвариантов: Алгебраические и обыкновенные дифференциальные уравнения.....31
2.1. Симметрии. Общая схема использования инвариантов для решения уравнений.....31
2.1.1. Симметрии. Преобразования, сохраняющие вид уравнений. Инварианты.....31
2.1.2. Общая схема использования инвариантов для решения математических уравнений.....34
2.2. Алгебраические уравнения и системы уравнений.....34
2.2.1. Алгебраические уравнения, содержащие четные степени.....34
2.2.2. Возвратные уравнения и их обобщения.....35
2.2.3. Системы алгебраических уравнений, симметричные относительно перестановки аргументов.....37
2.3. Обыкновенные дифференциальные уравнения.....38
2.3.1. Преобразования, сохраняющие вид уравнения, и их инварианты.....38
2.3.2. Процедура понижения порядка ОДУ при n >= 2 (приведение ОДУ к разрешимому виду n = 1).....40
2.3.3. Используемые преобразования. Процедура определения инвариантов.....40
2.3.4. Анализ конкретных обыкновенных дифференциальных уравнений.....41
Литература к главе 2.....46

3. Квазилинейные уравнения с частными производными первого порядка.....47
3.1. Характеристическая система. Общее решение.....47
3.1.1. Уравнения с двумя независимыми переменными.....47
3.1.2. Уравнения с произвольным числом независимых переменных 50
3.2. Задача Коши. Процедура построения решения. Теорема существования и единственности.....51
3.2.1. Две формулировки задачи Коши.....51
3.2.2. Процедура решения задачи Коши.....51
3.2.3. Теорема существования и единственности.....54
Литература к главе 3.....54

4. Решение некоторых функциональных уравнений.....55
4.1. Метод дифференцирования по независимым переменным.....55
4.1.1. Предварительные замечания.....55
4.1.2. Решение конкретных функциональных уравнений методом дифференцирования по независимым переменным.....55
4.2. Метод дифференцирования по параметру.....59
4.2.1. Рассматриваемые классы уравнений. Описание метода.....59
4.2.2. Решение конкретных функциональных уравнений методом дифференцирования по параметру.....61
4.3. Метод исключения аргумента с помощью тестовых функций.....64
4.3.1. Рассматриваемые классы уравнений. Описание метода.....64
4.3.2. Решение конкретных функциональных уравнений методом исключения аргумента.....65
Литература к главе 4.....67

5. Элементарная теория инвариантов: Уравнения с частными производными.....68
5.1. Описание метода построения решений, основанного на теории инвариантов.....68
5.1.1. Преобразования, сохраняющие вид уравнения, и их инварианты.....68
5.1.2. Процедура построения точных решений.....69
5.2. Примеры построения точных решений нелинейных уравнений математической физики.....70
5.2.1. Решения типа бегущей волны (построенные с помощью преобразований сдвига).....70
5.2.2. Автомодельные решения (построенные с помощью преобразований масштабирования).....72
5.2.3. Другие инвариантные решения (построенные с помощью композиций преобразований сдвига и масштабирования).....76
5.3. Обратные задачи (определение вида уравнения по его свойствам).....80
5.3.1. Предварительные замечания.....80
5.3.2. Примеры обратных задач и их решений.....80
Литература к главе 5.....84

6. Методы обобщенного разделения переменных.....86
6.1. Решения с простым разделением переменных.....86
6.1.1. Решения с мультипликативным и аддитивным разделением переменных.....86
6.1.2. Решения с простым разделением переменных нелинейных уравнений математической физики.....86
6.1.3. Примеры нетривиального разделения переменных в нелинейных уравнениях.....88
6.2. Структура решений с обобщенным разделением переменных.....91
6.2.1. Общий вид решений. Рассматриваемые классы нелинейных дифференциальных уравнений.....91
6.2.2. Функционально-дифференциальные уравнения, возникающие при обобщенном разделении переменных.....93
6.3. Упрощенный метод построения решений с обобщенным разделением переменных.....93
6.3.1. Упрощенный метод, основанный на априорном задании одной системы координатных функций. Описание.....93
6.3.2. Примеры построения точных решений нелинейных уравнений с двумя независимыми переменными.....94
6.4. Решение функционально-дифференциальных уравнений методом дифференцирования.....99
6.4.1. Описание метода дифференцирования.....99
6.4.2. Примеры построения решений с обобщенным разделением переменных методом дифференцирования.....100
6.5. Решение функционально-дифференциальных уравнений методом расщепления.....106
6.5.1. Предварительные замечания. Описание метода. Принцип расщепления.....106
6.5.2. Решения билинейных функциональных уравнений.....107
6.5.3. Примеры построения решений с обобщенным разделением переменных методом расщепления.....109
6.6. Метод инвариантных подпространств.....113
6.6.1. Подпространства, инвариантные относительно нелинейного дифференциального оператора. Описание метода.....113
6.6.2. Некоторые обобщения.....116
6.6.3. Нахождение линейных подпространств, инвариантных относительно заданного нелинейного оператора.....119
Литература к главе 6.....124

7. Методы функционального разделения переменных.....126
7.1. Предварительные замечания.....126
7.1.1. Структура решений с функциональным разделением переменных.....126
7.2. Упрощенный метод построения решений с функциональным разделением переменных.....127
7.2.1. Описание упрощенного метода, основанного на преобразованиях искомой функции.....127
7.2.2. Примеры построения точных решений нелинейных уравнений.....127
7.3. Решения типа обобщенной бегущей волны.....131
7.3.1. Решения типа обобщенной бегущей волны и другие решения специального вида. Алгоритм построения решений.....131
7.3.2. Примеры построения точных решений типа обобщенной бегущей волны.....132
7.4. Метод дифференцирования.....141
7.4.1. Краткое описание метода. Редукция к функционально-дифференциальному уравнению стандартного вида.....141
7.4.2. Примеры построения решений с функциональным разделением переменных методом дифференцирования.....141
7.5. Построение решений с функциональным разделением переменных в неявной форме.....151
7.5.1. Предварительные замечания. Решения типа бегущей волны в неявном виде.....151
7.5.2. Прямой метод построения решений с функциональным разделением переменных в неявном виде. Описание.....152
7.5.3. Нелинейные реакционно-диффузионные уравнения с переменными коэффициентами.....153
Литература к главе 7.....158

8. Прямой метод построения редукций. Слабые симметрии.....160
8.1. Прямой метод построения редукций.....160
8.1.1. Упрощенная схема. Уравнения Кортевега — де Фриза и Буссинеска.....160
8.1.2. Специальный вид редукций. Уравнение Буссинеска и волновое уравнение с пространственной анизотропией.....163
8.1.3. Специальный вид редукций. Нелинейные уравнения реакционно-диффузионного типа.....166
8.1.4. Общий вид редукций. Уравнение Гарри Дима.....175
8.2. Прямой метод поиска слабых симметрий.....177
8.2.1. Общее описание метода. Уравнение стационарного пограничного слоя.....177
8.2.2. Уравнение Бюргерса — Хаксли (уравнение диффузионного типа с кубической нелинейностью).....180
8.2.3. Уравнения нестационарного плоского и осесимметричного пограничного слоя.....183
Литература к главе 8.....191

9. Метод дифференциальных связей.....193
9.1. Метод дифференциальных связей для обыкновенных дифференциальных уравнений.....193
9.1.1. Описание метода. Дифференциальные связи первого порядка.....193
9.1.2. Дифференциальные связи произвольного порядка. Общий метод исследования на совместность двух уравнений.....197
9.2. Описание метода дифференциальных связей для уравнений с частными производными.....200
9.2.1. Предварительные замечания. Простой пример.....200
9.2.2. Общее описание метода дифференциальных связей.....202
9.3. Дифференциальные связи первого порядка для уравнений с частными производными.....204
9.3.1. Эволюционные уравнения второго порядка.....204
9.3.2. Уравнения второго порядка гиперболического типа.....208
9.4. Дифференциальные связи второго порядка для уравнений с частными производными.....210
9.4.1. Дифференциальные связи второго порядка и эквивалентные более простые дифференциальные связи.....210
9.4.2. Иллюстративные примеры использования дифференциальных связей второго порядка.....211
9.5. Связь между методом дифференциальных связей и другими методами.....214
9.5.1. Предварительные замечания.....214
9.5.2. Связь методов обобщенного разделения переменных с методом дифференциальных связей.....215
9.5.3. Связь методов функционального разделения переменных с методом дифференциальных связей.....216
9.5.4. Прямой метод построения редукций и дифференциальные связи.....217
Литература к главе 9.....218

10. Использование простых решений для построения сложных решений.....219
10.1. Построение сложных решений, исходя из простых решений, с помощью преобразований сдвига и масштабирования.....219
10.1.1. Некоторые определения. Простейшие преобразования.....219
10.1.2. Построение сложных решений, исходя из простых решений с разделением переменных специального вида.....220
10.1.3. Обобщение на случай произвольного числа пространственных переменных.....224
10.1.4. Обобщение на системы уравнений математической физики. 225
10.2. Построение сложных точных решений путем обобщения простых решений.....227
10.2.1. Построение сложных точных решений путем добавления слагаемых к более простым решениям.....227
10.2.2. Построение составных решений (нелинейная суперпозиция решений).....230
10.3. Использование комплексных параметров для построения точных решений УрЧП.....233
10.3.1. Линейные уравнения с частными производными.....233
10.3.2. Нелинейные уравнения с частными производными.....235
Литература к главе 10.....237

11. Построение решений одних УрЧП с помощью решений других УрЧП.....238
11.1. Построение решений сложных УрЧП с помощью решений более простых УрЧП.....238
11.1.1. Одномерные нелинейные уравнения с частными производными.....238
11.1.2. Использование одномерных уравнений для построения решений многомерных уравнений.....240
11.2. Построение решений УрЧП с запаздыванием помощью решений более простых уравнений.....242
11.2.1. Построение точных решений нелинейных УрЧП с запаздыванием, исходя из структуры решений соответствующих УрЧП без запаздывания.....242
11.2.2. Построение точных решений нелинейных УрЧП с запаздыванием с помощью решений специального вида более простых УрЧП без запаздывания.....244
11.2.3. Принцип аналогии решений для нелинейных УрЧП с пропорциональными аргументами.....248
11.2.4. Метод порождающих уравнений.....250
Литература к главе 11.....254