П.Е. Данко и др. | Высшая математика в упражнениях и задачах [2 книги] (1999) [DJVU]

часть 1

Предисловие

Глава I. Аналитическая геометрия на плоскости
§ 1. Прямоугольные и полярные координаты
§ 2. Прямая
§ 3. Кривые второго порядка
§ 4. Преобразование координат и упрощение уравнений кривых второго порядка
§ 5. Определители второго и третьего порядков и системы линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными

Глава II. Элементы векторной алгебры
§ 1. Прямоугольные координаты в пространстве
§ 2. Векторы и простейшие действия над ними
§ 3. Скалярное и векторное произведения. Смешанное произведение

Глава III. Аналитически геометрия в пространстве
§ 1. Плоскость и прямая
§ 2. Поверхности второго порядка

Глава IV. Определители и матрицы
§ 1. Понятие об определителе n-го порядка
§ 2. Линейные преобразования и матрицы
§ 3. Приведение к каноническому виду общих уравнений кривых и поверхностей второго порядка
§ 4. Ранг матрицы. Эквивалентные матрицы
§ 5. Исследование системы m линейных уравнений с n неизвестными
§ 6. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса
§ 7. Применение метода Жордана-Гаусса к решению систем линейных уравнений

Глава V. Основы линейной алгебры
§ 1. Линейные пространства
§ 2. Преобразование координат при переходе к новому базису
§ 3. Подпространства
§ 4. Линейные преобразования
§ 5. Евклидово пространство
§ 6. Ортогональный базис и ортогональные преобразования
§ 7. Квадратичные формы

Глава VI. Введение в анализ
§ 1. Абсолютная и относительная погрешности
§ 2. Функция одной независимой переменной
§ 3. Построение графиков функций
§ 4. Пределы
§ 5. Сравнение бесконечно малых
§ 6. Непрерывность функции

Глава VII. Дифференциальное исчисление функций одной независимой переменной
§ 1. Производная и дифференциал
§ 2. Исследование функции
§ 3. Кривизна плоской линии
§ 4. Порядок касания плоских кривых
§ 5. Вектор-функция скалярного аргумента и ее производная
§ 6. Сопровождающий трехгранник пространственной кривой. Кривизна и кручение

Глава VIII. Дифференциальное исчисление функций нескольких независимых переменных
§ 1. Область определения функции. Линии и поверхности уровня
§ 2. Производные и дифференциалы функций нескольких переменных
§ 3. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
§ 4. Экстремум функции двух независимых переменных

Глава IX. Неопределенный интеграл
§ 1. Непосредственное интегрирование. Замена переменной и интегрирование по частям
§ 2. Интегрирование рациональных дробей
§ 3. Интегрирование простейших иррациональных функций
§ 4. Интегрирование тригонометрических функций
§ 5. Интегрирование разных функций

Глава X. Определенный интеграл
§ 1. Вычисление определенного интеграла
§ 2. Несобственные интегралы
§ 3. Вычисление площади плоской фигуры
§ 4. Вычисление длины дуги плоской кривой
§ 5. Вычисление объема тела
§ 6. Вычисление площади поверхности вращения
§ 7. Статические моменты и моменты инерции плоских дуг и фигур
§ 8. Нахождение координат центра тяжести. Теоремы Гульдена
§ 9. Вычисление работы и давления
§ 10. Некоторые сведения о гиперболических функциях

Глава XI. Элементы линейного программирования
§ 1. Линейные неравенства и область решений системы линейных неравенств
§ 2. Основная задача линейного программирования
§ 3. Симплекс-метод
§ 4. Двойственные задачи
§ 5. Транспортная задача

Ответы

часть 2

Глава I. Двойные и тройные интегралы
§ 1. Двойной интеграл в прямоугольных координатах
§ 2. Замена переменных в двойном интеграле
§ 3. Вычисление площади плоской фигуры
§ 4. Вычисление объема тела
§ 5. Вычисление площади поверхности
§ 6. Физические приложения двойного интеграла
§ 7. Тройной интеграл
§ 8. Приложения тройного интеграла
§ 9. Интегралы, зависящие от параметра. Дифференцирование и интегрирование под знаком интеграла
§ 10. Гамма-функция. Бета-функция

Глава II. Криволинейные интегралы и интегралы по поверхности
§ 1. Криволинейные интегралы по длине дуги и по координатам
§ 2. Независимость криволинейного интеграла II рода от контура интегрирования. Нахождение функции по ее полному дифференциалу
§ 3. Формула Грина
§ 4. Вычисление площади
§ 5. Поверхностные интегралы
§ 6. Формулы Стокса и Остроградского-Гаусса. Элементы теории поля

Глава III. Ряды
§ 1. Числовые ряды
§ 2. Функциональные ряды
§ 3. Степенные ряды
§ 4. Разложение функций в степенные ряды
§ 5. Приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов
§ 6. Применение степенных рядов к вычислению пределов и определенных интегралов
§ 7. Комплексные числа и ряды с комплексными числами
§ 8. Ряд Фурье
§ 9. Интеграл Фурье

Глава IV. Обыкновенные дифференциальные уравнения
§ 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
§ 2. Дифференциальные уравнении высших порядков
§ 3. Линейные уравнения высших порядков
§ 4. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов
§ 5. Системы дифференциальных уравнений

Глава V. Элементы теории вероятностей
§ 1. Случайное событие, его частота и вероятность. Геометрическая вероятность
§ 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность
§ 3. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число наступлений события
§ 4. Формула полной вероятности. Формула Бейеса
§ 5. Случайная величина и закон ее распределения
§ 6. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины
§ 7. Мода и медиана
§ 8. Равномерное распределение
§ 9. Биномиальный закон распределения. Закон Пуассона
§ 10. Показательное (экспоненциальное) распределение. Функция надежности
§ 11. Нормальный закон распределения. Функция Лапласа
§ 12. Моменты, асимметрия и эксцесс случайной величины
§ 13. Закон больших чисел
§ 14. Теорема Муавра-Лапласа
§ 15. Системы случайных величин
§ 16. Линии регрессии. Корреляция
§ 17. Определение характеристик случайных величин на основе опытных данных
§ 18. Нахождение законов распределения случайных величин на основе опытных данных

Глава VI. Понятие об уравнениях в частных производных
§ 1. Дифференциальные уравнения первого порядка в частных производных
§ 2. Типы уравнений второго порядка в частных производных. Приведение к каноническому виду
§ 3. Уравнение колебания струны
§ 4. Уравнение теплопроводности
§ 5. Задача Дирихле для круга

Глава VII. Элементы теории функций комплексного переменного
§ 1. Функции комплексного переменного
§ 2. Производная функции комплексного переменного
§ 3. Понятие о конформном отображении
§ 4. Интеграл от функции комплексного переменного
§ 5. Ряды Тейлора и Лорана
§ 6. Вычисление вычетов функций. Применение вычетов к вычислению интегралов

Глава VIII. Элементы операционного исчисления
§ 1. Нахождение изображений функций
§ 2. Отыскание оригинала по изображению
§ 3. Свертка функций. Изображение производных и интеграла от оригинала
§ 4. Применение операционного исчисления к решению некоторых дифференциальных и интегральных уравнений
§ 5. Общая формула обращения
§ 6. Применение операционного исчисления к решению некоторых уравнений математической физики

Глава IX. Методы вычислений
§ 1. Приближенное решение уравнений
§ 2. Интерполирование
§ 3. Приближенное вычисление определенных интегралов
§ 4. Приближенное вычисление кратных интегралов
§ 5. Применение метода Монте-Карло к вычислению определенных и кратных интегралов
§ 6. Численное интегрирование дифференциальных уравнений
§ 7. Метод Пикара последовательных приближений
§ 8. Простейшие способы обработки опытных данных

Глава X. Основы вариационного исчисления
§ 1. Понятие о функционале
§ 2. Понятие о вариации функционала
§ 3. Понятие об экстремуме функционала. Частные случаи интегрируемости уравнения Эйлера
§ 4. Функционалы, зависящие от производных высших порядков
§ 5. Функционалы, зависящие от двух функций одной независимой переменной
§ 6. Функционалы, зависящие от функций двух независимых переменных
§ 7. Параметрическая форма вариационных задач
§ 8. Понятие о достаточных условиях экстремума функционала

Ответы

Приложение

Литература