Популярные лекции. Малый Мехмат МГУ. [2011-2012] [CamRip] (Обновляемая)

Владимир Георгиевич СУРДИН, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник ГАИШ МГУ.
По материалам предыдущих лекций были опубликованы брошюры издательством МЦНМО. Советуем посмотреть одну из них: Выпуск 17 серии «Библиотека "Математическое просвещение"» http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/book.17.pdf .

Антон Александрович КЛЯЧКО, доцент кафедры алгебры МГУ.
Если сфера разделена на конечное число областей и по границе каждой области ползёт муравей, обходя свою область против часовой стрелки за конечное время без остановок и разворотов, то рано или поздно какие-то два муравья обязательно встретятся.
Рассказано об обобщениях и усилениях этой леммы, доказанной когда-то докладчиком. Были упомянуты её применения к абстрактной алгебре, а именно, к решениям уравнений над группами.

Юрий Александрович АЛХИМЕНКОВ, студент III курса геофизического отделения геологического факультета МГУ.
В вертикальной плоскости даны точки A и B. Необходимо определить кривую, спускаясь по которой под действием силы тяжести и начав двигаться из точки А, тело достигнет точки В за кратчайшее время. Такую кривую скорейшего спуска называют брахистохроной. Ещё в XVII веке Иоганн Бернулли поставил эту задачу, которая привлекла внимание многих выдающихся ученых. Всего предложено пять решений: И. Бернулли, Лейбница, Я. Бернулли, Лопиталя и Ньютона. Все они очень содержательны. Наибольшую популярность получило решение самого автора, о котором и идет речь на лекции.
Перед просмотром полезно ознакомиться с книгой Георгия Николаевича Бермана «Циклоида» и двумя статьями журнала «Квант» 1975 года: «Тайна циклоиды» http://kvant.mirror1.mccme.ru/1975/08/index.htm и «Брахистохрона, или ещё одна тайна циклоиды» http://kvant.mirror1.mccme.ru/1975/12/index.htm.

Светлана Анатольевна БУРЛАК, кандидат филологических наук, старший научный сотрудник Института востоковедения РАН и филологического факультета МГУ, член оргкомитета Московской олимпиады по лингвистике и математике, автор многих олимпиадных задач по лингвистике.
Стало традицией незадолго до Традиционной лингвистической олимпиады знакомить школьников — слушателей лектория Малого мехмата — с тем, что такое лингвистика, демонстрировать примеры лингвистических задач: http://mmmf.msu.ru/lect/burlak/2010.pdf. Задачи лингвистической олимпиады самодостаточны — это значит, что для их решения не нужны специальные знания, достаточно лишь уметь логически рассуждать. В этом лингвистика похожа на математику: при описании языка требуется доказывать каждое предположение. На лекции рассказано о том, что такое язык и как его описывают.

Александр Ханиевич ШЕНЬ, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Института проблем передачи информации РАН, автор многих брошюр и книг для школьников и студентов.
На лекции рассказано, как стереометрия помогает решать планиметрические задачи. Советуем перед лекцией прочитать статью «Мыльные пузыри и хорды» на странице 37 второго номера журнала «Квант» 2010 года: http://kvant.info/k/2010/2/26-41.pdf (12 страница pdf-файла).

Анатолий Александрович Часовских, кандидат физико-математических наук, доцент, директор СУНЦ МГУ.
На лекции рассматривается решение задачи распознавания образов.

Лев Дмитриевич БЕКЛЕМИШЕВ, член-корреспондент РАН, главный научный сотрудник Математического института имени В.А. Стеклова, профессор кафедры математической логики и теории алгоритмов мехмата МГУ.
На лекции рассказано о том, как в математике были обнаружены первые истинные, но не доказуемые утверждения. Как и при каких условиях можно в принципе установить (и даже строго доказать) недоказуемость чего-либо. Были приведены примеры простых комбинаторных недоказуемых утверждений, в том числе найденные сравнительно недавно.

Александр Васильевич СПИВАК, автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2», учитель школ №№ 1018 и 1543.
n-я буква слова Туэ — А или Б в зависимости от того, чётно или нечётно количество единиц двоичной записи числа n. Оказывается, в этом слове никакое подслово не появляется три раза подряд. При помощи слова Туэ легко построить слово в трёхбуквенном алфавите, которое не содержит не только трёх, но даже двух одинаковых подряд идущих подслов. Есть и другие — не использующие конструкцию Акселя Туэ — способы построения бесквадратных слов (для алфавитов, состоящих более чем из двух букв).
Прочитать о бесповторных последовательностях можно в энциклопедии «Числа и фигуры» http://kvant.info/lit_math.htm.

Андрей Михайлович Райгородский, доктор физико-математических наук, профессор кафедры математической статистики механико-математического факультета МГУ, заведующий кафедрой дискретной математики факультета инноваций и высоких технологий МФТИ, руководитель исследовательского отдела в Яндексе, автор брошюр «Вероятность и алгебра в комбинаторике», «Остроугольные треугольники Данцера-Грюнбаума», «Хроматические числа», «Проблема Борсука», «Линейно-алгебраический метод в комбинаторике», «Системы общих представителей в комбинаторике и их приложения в геометрии», «Модели случайных графов» и «Гипотеза Кнезера и топологический метод в комбинаторике».
Представим себе такую ситуацию. В некоторую организацию одновременно приехали с визитом несколько иностранцев — скажем, англичанин, француз, японец и венгр. Каждый из них умеет говорить только на своем родном языке. Желая должным образом принять гостя, организация стремится послать на встречу с ним одного из своих сотрудников, который бы владел соответствующим языком и, тем самым, помог визитёру сориентироваться в незнакомом городе (на наёмных переводчиков денег жалко). Допустим, нашлись как сотрудники, знающие английский, так и сотрудники, говорящие по-венгерски, и так далее. Однако организация не хочет отрывать слишком много людей от работы и пытается минимизировать количество сотрудников, командируемых на общение с иностранцами. Ведь могут же найтись и такие полиглоты в её рядах, которые одновременно владеют английским и японским или, и того больше, французским, японским и венгерским? Глядишь, приставит организация одного человека сразу к троим посетителям, и проблем станет меньше?
В общем случае поставленная задача весьма нетривиальна. Иногда её называют задачей о системах представителей, что вполне естественно. Она нашла многочисленные применения в математике. (Умение решать её позволяет даже повысить вероятность выигрыша в некоторых лотереях!)

Александр Васильевич СПИВАК, автор книг «1001 задача по математике», «Математический кружок», «Математический праздник», «Турниры математических боёв имени А.П. Савина», «Арифметика» и «Арифметика—2», учитель школ №№ 1018 и 1543.
Явная формула для чисел Каталана является частным случаем открытой в 1954 году формулы крюков. При помощи антисимметрических многочленов можно доказать формулу крюков весьма естественным и простым способом. Ознакомиться с этим доказательством можно на стр.44-46 в третьем номере «Кванта» 2009 года: (http://kvant.info/k/2009/3/37-45.pdf http://kvant.info/k/2009/3/46-53.pdf). Самостоятельный файл с доказательством формулы крюков: http://kvant.info/k/2009/3/46-53.pdf .

Фёдор Константинович НИЛОВ, студент мехмата МГУ и лаборатории геометрических методов математической физики имени Н.Н. Боголюбова .
Хорошо известны фокальное и директориальное определения коник. Оказывается, в этих определениях фокусы можно заменить на окружности, а расстояние от точки до фокуса — на длину касательной к фокальной окружности. Классическая конструкция шаров Данделена наглядным образом характеризует сечения кругового конуса (коники). Основная цель лекции — доказательство аналогичной теоремы для других поверхностей вращения второго порядка (поверхностей, образованных вращением коники относительно одной из её осей симметрии).
Ключевым моментом в доказательстве теоремы Данделена является то, что на конусе есть семейство прямолинейных образующих. Для произвольной поверхности второго порядка это не так. Для доказательства обобщённой теоремы мы будем использовать обобщённые определения коник. Эти определения отличаются от классических тем, что фокусы в них заменяются на окружности, а расстояние от точки до фокуса — на длину касательной к «фокальной» окружности. На лекции были рассказаны и некоторые другие применения этих определений.

Сергей Константинович ЛАНДО, доктор физико-математических наук, проректор Независимого Московского университета, декан факультета математики Государственного университета Высшая Школа Экономики, член правления Московского Математического Общества.
Деревья — это связные графы без циклов. Поэтому деревья образуют одно из самых простых, а значит, самых интересных семейств графов. Мы обсудим, как считать деревья с заданным числом вершин. Это трудно из-за того, что деревья могут или не быть симметричными. Однако если запретить деревьям быть симметричными, то задача их перечисления становится простой, и её несложно решить.